Хотим оповещать команду о том, что нужно обработать новый заказ/запрос от клиента, пришедший на почту.

Используй интеграцию Slack с одним из сервисов автоматизации — zapier или IFTTT.

Каждый из них может подключиться к почте на gmail.com и отправлять в слэк уведомления о новых письмах.

Более того, IFTTT может тоже самое делать для смс с андроид-телефона, на котором установлено соответствующее приложение.

Если вдруг вы используете другой почтовый сервис, например, Яндекс.Почту, можно завести специальный ящик на gmail и настроить переадресацию нужных писем на него. А оттуда уже забирать в слэк.

За вопрос спасибо @DMasster с toster.ru.